闲话 22.12.14

闲话

啊啊啊数数题的式子和含义怎么也对不上啊啊啊
有好心人给我具体讲讲他在说啥吗？

感觉最近这两天的闲话比较低质量
在我啃明白这个前不是很可能高质量（

翻旧闲话好像看到 CF1515E 能代数工业 $O(n\log n)$？
求大佬浇浇

杂题

星际竞速

感觉这题挺刻意的。

每个星球恰好经过一次：拆出入点，点间连边 $1$ 流量，$0$ 费用
空间跳跃：源点跳跃到每个星球流量是 $1$，费用是跳跃的费用，每个星球都能直接跳到汇点，费用是 $0$。
高速航行：直接连边就行。
建完边跑最小费用最大流即可。

挺板的一题的。注意 $u < v$，要不然你连样例都过不去。

code

int M, s, t, n, m, t1, t2, t3, t4;

signed main() {
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0), cout.tie(0);
    cin >> n >> m;
    M = n * 2; 
    s = ++ M, t = ++ M;
    rep(i,1,n) cin >> t1, adde(s, (i << 1) - 1, 1, t1);
    rep(i,1,n) adde(s, (i << 1), 1, 0), adde((i << 1) - 1, t, 1, 0);
    rep(i,1,m) {
        cin >> t1 >> t2 >> t3; if (t1 > t2) swap(t1, t2);
        adde(t1 << 1, (t2 << 1) - 1, 1, t3);
    } 
    Dinic(s, t);
    cout << min_cost << '\n';
}

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狼抓兔子

一眼最小割模型。但是数据加强一点你的多路增广 Dinic 就过不去了。因此考虑最小割的含义。

这是个平面图，因此最小割退化，我们可以用一条曲线穿过极多的最小割对应边的中点，这条曲线将整张图分为两部分。同样的，这条曲线是从左下到右上穿过平面图时所穿过的边权的最小值。这让我们想到最短路。
引入对偶图概念。我们将图上每个面构成一个点，点间的边是原图的边顺时针旋转 $90°$ 得到的边。以左下角和右上角的无限大平面为源汇点，我们跑最短路就能得到答案。

听说很恶心？所以没实现。海拔我写了。

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志愿者招募

挺好玩的一道题欸。

费用流比较一眼。然后我们 $s\to 1\to 2\to \cdots\to n+1\to t$ 顺次连起来，$i\to i+1$ 连 $\inf - a_i$ 流，$0$ 费用的边，起点终点都连 $\inf$ 流 $0$ 费的边。
然后是招人。招人 $[l,r,w]$ 就 $l\to r + 1$ 连 $\inf$ 流 $w$ 费的边。
看懂为啥都要连边权那么大的边了吗？最大流所以肯定 $\inf$ 是要跑满的，但是想不花钱跑到 $\inf$ 是不可能的，这就转化成了经典费用流了，正确性显然。

“但这并不是我的特长！”

$\text{Bonus : }$ 如何从线性规划的角度考虑本题？

code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define rep(i,s,t) for (register int i = (s), i##_ = (t) + 1; i < i##_; ++ i)
#define pre(i,s,t) for (register int i = (s), i##_ = (t) - 1; i > i##_; -- i)
int M, s, t, n, m, t1, t2, t3, t4;
const int N = 1e6, inf = 1e18;

signed main() {
	cin >> n >> m;
    M = n + 1; s = ++ M, t = ++ M;
    adde(s, 1, inf, 0);
    rep(i,1,n) cin >> t1, adde(i, i + 1, inf - t1, 0);
    adde(n + 1, t, inf, 0);
    rep(i,1,m) cin >> t1 >> t2 >> t3, adde(t1, t2 + 1, inf, t3);
    Dinic(s, t);
    cout << min_cost << endl;
}